最新-中考数学考点总动员系列专题22分式及其计算

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考点二十二:分式及其计算

聚焦考点☆温习理解

1、分式的概念

一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示成的形式,如果B中含有字母,式子就叫做分式。其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

当B≠0时,分式有意义,当B=0时,分式无意义;当A=0且B≠0,分式的值等于0.

2、分式的性质

(1)分式的基本性质:

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。

用式子表示为:(M是不等于零的整式)

(2)分式的变号法则:

分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。

3、分式的运算法则

4.最简分式

如果一个分式的分子与分母没有公因式,那么这个分式叫做最简分式.

5.分式的约分、通分

把分式中分子与分母的公因式约去,这种变形叫做约分,约分的根据是分式的基本性质.

把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式,这种变形叫做分式的通分,通分的根据是分式的基本性质.通分的关键是确定几个分式的最简公分母.

6.分式的混合运算

在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算.若有括号,先算括号里面的.灵活运用运算律,运算结果必须是最简分式或整式.

7.解分式方程,其思路是去分母转化为整式方程,要特别注意验根.使分母为0的未知数的值是增根,需舍去.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、分式的概念,求字母的取值范围

【例1】((2015.上海市,第1题,3分)如果分式有意义,那么的取值范围是____________.

【答案】

【解析】

试题分析:分式有意义的条件是分母不为零,故,解得.

考点:分式有意义的条件.

【例2】(2015·黑龙江绥化)若代数式的值等于0,则x=_________.

【答案】x=2

【解析】

试题分析:当时,代数式的值等于0,解得:x=2.

考点:分式的值等于0.

【点睛】(1)分式有意义就是使分母不为0,解不等式即可求出,有时还要考虑二次根式有意义;(2)首先求出使分子为0的字母的值,再检验这个字母的值是否使分母的值为0,当它使分母的值不为0时,这就是所要求的字母的值.

【举一反三】

(2015·辽宁葫芦岛)(3分)若代数式有意义,则实数x的取值范围是.

【答案】x≥0且x≠1.

【解析】

试题分析:∵有意义,∴x≥0,x﹣1≠0,∴实数x的取值范围是:x≥0且x≠1.故答案为:x≥0且x≠1.

考点:1.二次根式有意义的条件;2.分式有意义的条件.

考点典例二、分式的性质

【例3】已知x+y=xy,求代数式-(1-x)(1-y)的值.

【答案】0.

考点:分式的化简求值.

【点睛】(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据,所有分式变形都不得与此相违背,否则分式的值改变;(2)将分式化简,即约分,要先找出分子、分母的公因式,如果分子、分母是多项式,要先将它们分别分解因式,然后再约分,约分应彻底;(3)巧用分式的性质,可以解决某些较复杂的计算题,可应用逆向思维,把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值.

【举一反三】

1.分式可变形为【】

A. B. C. D.

【答案】D.

【解析】

试题分析:根据分式的性质,分子分母都乘以﹣1,分式的值不变,可得答案:

分式的分子分母都乘以﹣1,得.

故选D.

考点:分式的基本性质.

考点典例三、分式的加减法

【例4】(2015.山东临沂第16题,3分)计算:____________.

【答案】

考点:分式的加减运算

【举一反三】

化简的结果是

【答案】.

【解析】

试题分析:原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果.

试题解析:原式=

考点:分式的加减法.

考点典例四、分式的四则混合运算

【例5】(2015.上海市,第19题,10分) (本题满分10分)先化简,再求值:,其中

【答案】化简得,代入求值得

考点:1.分式的化简;2.代数式求值.

【点睛】准确、灵活、简便地运用法则进行化简

【举一反三】

1.(2015.山东烟台,第19题,6分)(本题满分6分)

先化简,再从的范围内选取一个你喜欢的值代入求值。

【答案】,4

【解析】

试题分析:根据分式的化简法则:先算括号里的,再算乘除,最后算加减。对不同分母的先通分,按同分母分式加减法计算,且要把复杂的因式分解因式,最后约分,化简完后再代入求值,但是不能代入-1,0,1,保证分式有意义。

试题解析:解:

=

=

=

=

当x=2时,原式==4.

考点:分式的化简求值

2.化简:

【答案】

【解析】

试题分析:(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.

试题解析:原式=

考点典例五、分式方程的解法

【例6】分式方程的解为

【答案】-2.

考点:解分式方程.

【点睛】(1)按照基本步骤解分式方程,其关键是确定各分式的最简公分母.若分母为多项式时,应首先进行分解因式.将分式方程转化为整式方程,乘最简公分母时,应乘原分式方程的每一项,不要漏乘常数项;(2)检验是否产生增根:分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根,但因为它使分式方程的某些分母为零,故应是原方程的增根,须舍去.

【举一反三】

(解方程:

【答案】x=.

考点:解分式方程.

课时作业☆能力提升

、选择题

1.(2015·湖北衡阳,4题,3分)若分式的值为0,则的值为().

A.2或-1 B.0 C.2 D.-1

【答案】C

【解析】

试题分析:根据的值为0时,则分子x-2=0,得x=2.

故选项C正确.

考点:分式

2.(2015.山东济南,第10题,3分)化简的结果是(  )

A. m+3 B. m﹣3 C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析:利用同分母分式的减法法则计算,原式=

选:A.

考点:分式的加减法.

3.(2015.山东泰安,第8题)(3分)化简:的结果等于(  )

A.B.C.D.

【答案】B.

【解析】

试题分析:原式====.故选B.

考点:分式的混合运算.

4.(2015·湖南益阳)下列等式成立的是(  )

A. B. C. D.

【答案】C

考点:分式的混合运算

5.(2015.安徽省,第11题,5分)已知实数a、b、c满足a+b=ab=c,有下列结论:

①若c≠0,则=1;②若a=3,则b+c=9;

③若a=b=c,则abc=0;④若a、b、c中只有两个数相等,则a+b+c=8.

其中正确的是(把所有正确结论的序号都选上).

【答案】①③④.

【解析】

试题分析:在a+b=ab的两边同时除以ab(ab=c≠0)即可得,所以①正确;把a=3代入得3+b=3b=c,可得b=,c=,所以b+c=6,故②错误;把 a=b=c代入得,所以可得c=0,故③正确;当a=b时,由a+b=ab可得a=b=2,再代入可得c=4,所以a+b+c=8;当a=c时,由c=a+b可得b=0,再代入可得a=b=c=0,这与a、b、c中只有两个数相等相矛盾,故a=c这种情况不存在;当b=c时,情况同a=c,故b=c这种情况也不存在,所以④正确.所以本题正确的是①③④.

考点:分式的基本性质;分类讨论.

二、填空题

6.若分式有意义,则实数的取值范围是▲

【答案】.

考点:分式有意义的条件.

【分析】根据分式分母不为0的条件,要使在实数范围内有意义,必须.

7.(2015.河北省,第18题,3分)若a=2b≠0,则的值为____.

【答案

【解析】

试题分析:原式=.

将a=2b代入,得.

考点:分式的运算,因式分解,化简求值

8.(2015·湖北黄冈,11题,3分)计算的结果是________.

【答案】

【解析】

试题分析:原式===.故答案为:

考点:分式的混合运算.

9.计算:

【答案】a-2.

【解析】

试题分析:根据同分母分式加减运算法则,分母不变只把分子相加减即可求解.

试题解析:原式=.

考点:分式的加减法.

10.分式方程的解为.

【答案】x=1.

考点:解分式方程.

三、解答题

11.(2015.山东威海,第19题)先化简,再求值:()÷,其中x=﹣2+

【答案】-

考点:分式的化简求值

12.解方程:

【答案】x=-1.5

【解析】

试题分析:分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.

试题解析:去分母得:x2-3x+3=x2-x,

移项合并得:-2x=3,

解得:x=-1.5,

经检验x=-1.5是分式方程的解.

考点:解分式方程.

13.解方程:

【答案】x=﹣2.

考点:解分式方程.

14.(2015·湖南株洲)(本题满分4分)先化简,再求值:,其中

【答案】6

【解析】

试题分析:首先将括号里面的分式进行通分,然后将各分式的分子和分母进行因式分解,最后进行约分化简,最后将x的值代入化简后的式子进行计算.

试题解析:原式==x+2 当x=4时,原式=x+2=6.

考点:分式的化简求值

15.(2015成都)(本小题满分6分)化简:

【答案】

【解析】

试题分析:括号内先通分,同时把除法转化为乘法,再用分式乘法法则计算机即可.

试题解析:原式=

考点:分式的加减法.

16.(2015达州)(7分)化简,并求值,其中a与2、3构成△ABC的三边,且a为整数

【答案】,1.

考点:1.分式的化简求值;2.三角形三边关系.

予少家汉东,汉东僻陋无学者,吾家又贫无藏书。州南有大姓李氏者,其于尧辅颇好学。予为儿童时,多游其家,见有弊筐贮故书在壁间,发而视之,得唐《昌黎先生文集》六卷,脱落颠倒无次序,因乞李氏以归。读之,见其言深厚而雄博,然予犹少,未能悉究其义.徒见其浩然无涯,若可爱。

是时天下学者杨、刘之作,号为时文,能者取科第,擅名声,以夸荣当世,未尝有道韩文者。予亦方举进士,以礼部诗赋为事。年十有七试于州,为有司所黜。因取所藏韩氏之文复阅之,则喟然叹曰:学者当至于是而止尔!因怪时人之不道,而顾己亦未暇学,徒时时独念于予心,以谓方从进士干禄以养亲,苟得禄矣,当尽力于斯文,以偿其素志。

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