西安交大高数7-3

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第三节 曲面及其方程? ? ? ? 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面与二次曲面 四、小结一、曲面方程的概念曲面的实例: 水桶的表面、台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义:如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) ? 0 有下述关系:(1 )曲面S 上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程;那么,方程 F ( x , y , z ) ? 0 就叫做曲面S 的方程, 而曲面 S 就叫做方程的图形.以下给出几例常见的曲面.例 1 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.解设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点,根据题意有| MM 0 |? R2 2 2? x ? x0 ?2 ? ? y ? y0 ?2 ? ? z ? z0 ?2 ? R所求方程为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? ? z ? z0 ? ? R 2 特殊地:球心在原点时方程为 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2例 2 求与原点 O 及 M 0 ( 2,3,4)的距离之比为1 : 2的 点的全体所组成的曲面方程.解设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点,| MO | 1 ? , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 ? y2 ? z2? x ? 2? ? ? y ? 3? ? ?z ? 4?2 221 ? , 222? 4 ? 116 2 ? ? . 所求方程为 ? x ? ? ? ? y ? 1? ? ? z ? ? ? 3? 3? 9 ? ?2例 3 已知 A(1,2,3) ,B( 2,?1,4) ,求线段AB 的 垂直平分面的方程.解设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点,根据题意有 | MA |?| MB |,? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? ? z ? 3 ?2 22?? x ? 2? ? ? y ? 1? ? ? z ? 4? ,2 2 2化简得所求方程 2 x ? 6 y ? 2 z ? 7 ? 0.2 2 z ? ( x ? 1 ) ? ( y ? 2 ) ? 1的图形是怎样的? 例4 方程解根据题意有 z ? ?1z用平面 z ? c 去截图形得圆:( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 ? c (c ? ?1)2 2当平面 z ? c 上下移动时, 得到一系列圆coxy圆心在(1,2, c ) ,半径为 1 ? c半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶,下封底.以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程. (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状. (讨论柱面、二次曲面)二、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.播放旋转过程中的特征:z如图设 M ( x , y , z ),o x2 2(1) z ? z1(2)点 M 到z 轴的距离M (0, y , z ) ? ? f ( y, z ) ? 0 Md1 1 1yd ? x ? y ?| y1 |2 2将 z ? z1 , y1 ? ? x ? y 代入f ( y1 , z1 ) ? 02 2 z ? z , y ? ? x ? y 将 代入 f ( y1 , z1 ) ? 0 1 1得方程f ? x 2 ? y 2 , z ? 0,??yoz

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