西安交大高数6-2-2

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第二节 平面曲线的弧长? ? ? ? ? 一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 五、小结一、平面曲线弧长的概念设 A 、 B 是曲线弧上的两 个端点,在弧上插入分点yM2 M1 M n ?1B ? MnA ? M 0 , M 1 ,? M i , ? , M n ?1 , M n ? BnA ? M0并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长? | M i ?1 M i |的极限存在,则称此极限为 曲线弧 AB 的弧长.i ?1ox二、直角坐标情形设曲线弧为 y ? f ( x ) (a ? x ? b ) ,其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数取积分变量为 x ,在[a , b] 上任取小区间[ x , x ? dx ],y? dy以对应小切线段的长代替小弧段的长2o a x x ? dx bx小切线段的长 (dx )2 ? (dy )2 ? 1 ? y? 2 dx弧长元素 ds ? 1 ? y? dx 弧长 s ? ?ab 2 ? 1 ? y dx .2 3 x 从 a 到b 的一段 例 1 计算曲线 y ? x 2 上相应于 3弧的长度.解 ? y? ? x ,1 2? ds ? 1 ? ( x )2 dx ? 1 ? xdx ,ab1 2所求弧长为s ? ?ab2 1 ? xdx ? [(1 ? b) ? (1 ? a ) ]. 33 2 3 2三、参数方程情形? x ? ? (t ) , 曲线弧为 ? ? y ? ? (t )(? ? t ? ? )其中? ( t ), ? ( t ) 在[? , ? ] 上具有连续导数.2 2 2 ? ? ? [ ? ( t ) ? ? ( t )]( dt ) ds ? (dx ) ? (dy ) 2 2 2 2 ? ? ? ? ( t ) ? ? ( t )dt弧长 s ? ???? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t )dt .例 2 求星形线 x ? y ? a (a ? 0) 的全长.2 32 32 3? x ? a cos t ( 0 ? t ? 2? ) 解 星形线的参数方程为 ? 3 y ? a sin t ?3根据对称性 s ? 4 s1第一象限部分的弧长? 4?? 2 0? x?? ? ? y?? dt2 2? 4 ? 3a sin t cos tdt? 2 0? 6a .例 3 证明正弦线 y ? a sin x ( 0 ? x ? 2?) 的弧长? x ? cos t 等于椭圆 ? 2 y ? 1 ? a sin t ?证 设正弦线的弧长等于s1( 0 ? t ? 2?) 的周长.s1 ? ?2?0 ?1 ? y? dx ? ?22?01 ? a 2 cos 2 xdx? 2?01 ? a 2 cos 2 xdx ,设椭圆的周长为s2s2 ? ?2?02 2 ? ? ? x ? ? ? y ? dt ,根据椭圆的对称性知s2 ? 2?? 2???0?sin t ?22? ?1 ? a ??cos t ? dt2 220 ?1 ? a cos t dt 1 ? a 2 cos 2 xdx ? s1 ,? 2?0故原结论成立.四、极坐标情形曲线弧为 r ? r (? )(? ? ? ? ? )其中? (? ) 在[? , ? ] 上具有连续导数.? x ? r (? ) cos? ?? ? y ? r (? ) sin?(? ? ? ? ? )? ds ? (dx )2 ? (dy )2 ? r 2 (? ) ? r ? 2 (? )d? ,弧长 s ? ?? ?r 2 (? ) ? r ? 2 (? )d? .例 4 求阿基米德螺线r ? a? (a ? 0) 上相应于? 从 0 到 2?

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