延吉市二中2018-2019学年高二上学期二次月考试数学

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延吉市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 给出下列两个结论:

①若命题p:?x0∈R,x02+x0+1<0,则¬p:?x∈R,x2+x+1≥0;

②命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为:“若方程x2+x﹣m=0没有实数根,则m≤0”;

则判断正确的是( )

A.①对②错 B.①错②对 C.①②都对 D.①②都错

2. 数列{an}的首项a1=1,an+1=an+2n,则a5=( )

A. B.20 C.21 D.31

3. 若命题p:?x∈R,x﹣2>0,命题q:?x∈R,<x,则下列说法正确的是( )

A.命题p∨q是假命题 B.命题p∧(¬q)是真命题

C.命题p∧q是真命题 D.命题p∨(¬q)是假命题

 

4. 函数f(x)的定义域为[﹣1,1],图象如图1所示:函数g(x)的定义域为[﹣2,2],图象如图2所示,方程f(g(x))=0有m个实数根,方程g(f(x))=0有n个实数根,则m+n=( )

A.14 B.12 C.10 D.8

5. 有一学校高中部有学生2000人,其中高一学生800人,高二学生600人,高三学生600人,现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )

A.15,10,25 B.20,15,15 C.10,10,30 D.10,20,20

 

6. 定义某种运算S=a?b,运算原理如图所示,则式子+的值为( )

A.4 B.8 C.10 D.13

7. 满足下列条件的函数中,为偶函数的是( )

A. B. C. D.

【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识,意在考查分析求解能力.

8. 已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程为(  )

A.x+y=0 B.x+y=2 C.x﹣y=2 D.x﹣y=﹣2

9. 执行如图所示的程序框图,若a=1,b=2,则输出的结果是( )

A.9 B.11 C.13 D.15

 

10.数列{an}的通项公式为an=﹣n+p,数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣5,设cn=,若在数列{cn}中c8>cn(n∈N*,n≠8),则实数p的取值范围是( )

A.(11,25) B.(12,16] C.(12,17) D.[16,17)

 

11.过点的直线的斜率为,则( )

A. B. C. D.

12.若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列为真命题的是( )

A.若,则

B.若,则

C.若,则

D.若,则

二、填空题

13.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中①平行;②是异面直线;

角;④是异面直线.

以上四个命题中,正确命题的序号是 (写出所有你认为正确的命题).

14.自圆外一点引该圆的一条切线,切点为,切线的长度等于点到原点的长,则的最小值为( )

A.    B.3    C.4    D.

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离,意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想.

15.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=      .

 

 

16.已知等差数列{an}中,a3=,则cos(a1+a2+a6)=  .

17.设数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为  .

18.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且,则=      .

 

三、解答题

19.本小题满分12分已知椭圆的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为2.

Ⅰ求椭圆的长轴长;

Ⅱ过椭圆中心O的直线与椭圆交于A、B两点A、B不是椭圆的顶点,点M在长轴所在直线上,且,直线BM与椭圆交于点D,求证:ADAB。

20.已知F1,F2分别是椭圆=1(9>m>0)的左右焦点,P是该椭圆上一定点,若点P在第一象限,且|PF1|=4,PF1⊥PF2.

(Ⅰ)求m的值;

(Ⅱ)求点P的坐标.

21.在中,.

(1)求的值;

(2)求的值。

22.(本小题满分12分)已知函数

(1)时,求函数的单调区间;

(2)设,不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.

【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识,意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.

23.(本题满分12分)有人在路边设局,宣传牌上写有“掷骰子,赢大奖”.其游戏规则是这样的:你可以

在1,2,3,4,5,6点中任选一个,并押上赌注元,然后掷1颗骰子,连续掷3次,若你所押的点数

在3次掷骰子过程中出现1次, 2次,3次,那么原来的赌注仍还给你,并且庄家分别给予你所押赌注的

1倍,2倍,3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中,你所押的点数没出现,那么你的赌注就被庄家没收.

(1)求掷3次骰子,至少出现1次为5点的概率;

(2)如果你打算尝试一次,请计算一下你获利的期望值,并给大家一个正确的建议.

24.已知函数f(x)=alnx﹣x(a>0).

(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;

(Ⅱ)若x∈(0,a),证明:f(a+x)>f(a﹣x);

(Ⅲ)若α,β∈(0,+∞),f(α)=f(β),且α<β,证明:α+β>2α

 

延吉市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)

一、选择题

1. 【答案】C

【解析】解:①命题p是一个特称命题,它的否定是全称命题,¬p是全称命题,所以①正确.

②根据逆否命题的定义可知②正确.

故选C.

【点评】考查特称命题,全称命题,和逆否命题的概念.

 

2. 【答案】C

【解析】解:由an+1=an+2n,得an+1﹣an=2n,又a1=1,

∴a5=(a5﹣a4)+(a4﹣a3)+(a3﹣a2)+(a2﹣a1)+a1

=2(4+3+2+1)+1=21.

故选:C.

【点评】本题考查数列递推式,训练了累加法求数列的通项公式,是基础题.

 

3. 【答案】 B

【解析】解:?x∈R,x﹣2>0,即不等式x﹣2>0有解,∴命题p是真命题;

x<0时,<x无解,∴命题q是假命题;

∴p∨q为真命题,p∧q是假命题,¬q是真命题,p∨(¬q)是真命题,p∧(¬q)是真命题;

故选:B.

【点评】考查真命题,假命题的概念,以及p∨q,p∧q,¬q的真假和p,q真假的关系.

 

4. 【答案】A

【解析】解:由图象可知,

若f(g(x))=0,

则g(x)=﹣1或g(x)=0或g(x)=1;

由图2知,g(x)=﹣1时,x=﹣1或x=1;

g(x)=0时,x的值有3个;

g(x)=1时,x=2或x=﹣2;

故m=7;

若g(f(x))=0,

则f(x)=﹣1.5或f(x)=1.5或f(x)=0;

由图1知,

f(x)=1.5与f(x)=﹣1.5各有2个;

f(x)=0时,x=﹣1,x=1或x=0;

故n=7;

故m+n=14;

故选:A.

 

5. 【答案】B

【解析】解:每个个体被抽到的概率等于=,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为

800×=20,600×=15,600×=15,

故选B.

【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法,用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数,属于基础题.

 

6. 【答案】 C

【解析】解:模拟执行程序,可得,当a≥b时,则输出a(b+1),反之,则输出b(a+1),

∵2tan=2,lg=﹣1,

∴(2tan)?lg=(2tan)×(lg+1)=2×(﹣1+1)=0,

∵lne=1,()﹣1=5,

∴lne?()﹣1=()﹣1×(lne+1)=5×(1+1)=10,

∴+=0+10=10.

故选:C.

 

7. 【答案】D.

【解析】

8. 【答案】D

【解析】【分析】由题意可得圆心C1和圆心C2,设直线l方程为y=kx+b,由对称性可得k和b的方程组,解方程组可得.

【解答】解:由题意可得圆C1圆心为(0,0),圆C2的圆心为(﹣2,2),

∵圆C1:x2+y2=4和圆C2:x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称,

∴点(0,0)与(﹣2,2)关于直线l对称,设直线l方程为y=kx+b,

?k=﹣1且=k?+b,

解得k=1,b=2,故直线方程为x﹣y=﹣2,

故选:D.

9. 【答案】C

【解析】解:当a=1时,不满足退出循环的条件,故a=5,

当a=5时,不满足退出循环的条件,故a=9,

当a=9时,不满足退出循环的条件,故a=13,

当a=13时,满足退出循环的条件,

故输出的结果为13,

故选:C

【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.

 

10.【答案】C

【解析】解:当an≤bn时,cn=an,当an>bn时,cn=bn,∴cn是an,bn中的较小者,

∵an=﹣n+p,∴{an}是递减数列,

∵bn=2n﹣5,∴{bn}是递增数列,

∵c8>cn(n≠8),∴c8是cn的最大者,

则n=1,2,3,…7,8时,cn递增,n=8,9,10,…时,cn递减,

∴n=1,2,3,…7时,2n﹣5<﹣n+p总成立,

当n=7时,27﹣5<﹣7+p,∴p>11,

n=9,10,11,…时,2n﹣5>﹣n+p总成立,

当n=9时,29﹣5>﹣9+p,成立,∴p<25,

而c8=a8或c8=b8,

若a8≤b8,即23≥p﹣8,∴p≤16,

则c8=a8=p﹣8,

∴p﹣8>b7=27﹣5,∴p>12,

故12<p≤16,

若a8>b8,即p﹣8>28﹣5,∴p>16,

∴c8=b8=23,

那么c8>c9=a9,即8>p﹣9,

∴p<17,

故16<p<17,

综上,12<p<17.

故选:C.

 

11.【答案】

【解析】

考点:1.斜率;2.两点间距离.

12.【答案】C

【解析】

试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以A不正确;两个平面平行,两个平面内的直线不一定平行,所以B不正确;垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,可能相交,也可能平行,所以D不正确;根据面面垂直的判定定理知C正确.故选C.

考点:空间直线、平面间的位置关系.

二、填空题

13.【答案】③④

【解析】

试题分析:把展开图复原成正方体,如图,由正方体的性质,可知:①是异面直线,所以是错误的;②是平行直线,所以是错误的;③从图中连接,由于几何体是正方体,所以三角形为等边三角形,所以所成的角为,所以是正确的;④是异面直线,所以是正确的.

考点:空间中直线与直线的位置关系.

14.【答案】D

【解析】

15.【答案】 1 .

【解析】解:∵△ABC中,a=4,b=5,c=6,

∴cosC==,cosA==

∴sinC=,sinA=

==1.

故答案为:1.

【点评】本题考查余弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.

 

16.【答案】  .

【解析】解:∵数列{an}为等差数列,且a3=

∴a1+a2+a6=3a1+6d=3(a1+2d)=3a3=3×=

∴cos(a1+a2+a6)=cos=

故答案是:

 

17.【答案】  .

【解析】解:∵数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),

∴当n≥2时,an=(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=n+…+2+1=

当n=1时,上式也成立,

∴an=

=2

∴数列{}的前n项的和Sn=

=

=

∴数列{}的前10项的和为

故答案为:

 

18.【答案】  .

【解析】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,且

∴S4=5S2,又S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,

∴(S4﹣S2)2=S2(S6﹣S4),

∴(5S2﹣S2)2=S2(S6﹣5S2),

解得S6=21S2,

==

故答案为:

【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质,用S2表示S4和S6是解决问题的关键,属中档题.

 

三、解答题

19.【答案】

【解析】Ⅰ由已知,又,解得

所以椭圆的长轴长

Ⅱ以O为坐标原点长轴所在直线为x轴建立如图平面直角坐标系

不妨设椭圆的焦点在x轴上,则由1可知椭圆的方程为

设A,D,则A

∴M

根据题意,BM满足题意的直线斜率存在,设

联立,消去y得

∴ADAB

20.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由已知得:|PF2|=6﹣4=2,

在△PF1F2中,由勾股定理得,

即4c2=20,解得c2=5.

∴m=9﹣5=4;

(Ⅱ)设P点坐标为(x0,y0),由(Ⅰ)知,

,解得

∴P().

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查了椭圆的简单性质,属中档题.

 

21.【答案】

【解析】

解:(Ⅰ)在中,根据正弦定理,

于是

(Ⅱ)在中,根据余弦定理,得

于是

所以

22.【答案】

【解析】(1)函数定义域为,且

,得,………………2分

时,,函数的在定义域单调递减; …………3分

时,由,得;由,得

所以函数的单调递增区间为,递减区间为

时,由,得;由,得

所以函数的单调递增区间为,递减区间为.………5分

综上所述,时,的在定义域单调递减;当时,函数的单调递增区间为,递减区间为;当时,函数的单调递增区间为,递减区间为.………6分

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.

23.【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法,对立事件的基本性质;对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高,属于中档难度.

24.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)令,所以x=a.

易知,x∈(0,a)时,f′(x)>0,x∈(a,+∞)时,f′(x)<0.

故函数f(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞)递减.

故f(x)max=f(a)=alna﹣a.

(Ⅱ)令g(x)=f(a﹣x)﹣f(a+x),即g(x)=aln(a﹣x)﹣aln(a+x)+2x.

所以,当x∈(0,a)时,g′(x)<0.

所以g(x)<g(0)=0,即f(a+x)>f(a﹣x).

(Ⅲ)依题意得:a<α<β,从而a﹣α∈(0,a).

由(Ⅱ)知,f(2a﹣α)=f[a+(a﹣α)]>f[a﹣(a﹣α)]=f(α)=f(β).

又2a﹣α>a,β>a.所以2a﹣α<β,即α+β>2a.

【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题,一般是转化为函数的最值问题来解,注意导数的应用.

 

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