西安交大高数10-1

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第一节 对弧长的曲线积分? ? ? ? ? 一、问题的提出 二、对弧长曲线积分的概念 三、对弧长曲线积分的计算 四、几何与物理意义 五、小结 思考题一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量 M ? ? ? s.yB L M n ?1(? i ,? i ) M i M2 M i ?1 M1o M , M , ? , M ? ? s , 分割 1 2 n ?1 iM ? ? ? (? i ,?i ) ? ?si .i ?1 nAx取 (? i ,?i ) ? ?si , ?M i ? ? (? i ,?i ) ? ?si .求和 取极限近似值精确值M ? lim ? ? (? i ,?i ) ? ?si .? ?0i ?1n二、对弧长的曲线积分的概念1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧 ,函数f ( x , y )在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,?, M n?1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为?si , 又(? i , ?i )为第 i个小段上任意取定的一 点, 作乘积f (? i , ?i ) ? ?si , 并作和? f (? i , ?i ) ? ?si ,i ?1 nyB L M n ?1(? i ,? i ) M i M2 M i ?1 M1oAx如果当各小弧段的长度的最大值 ? ? 0时, 这和的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分, 记作? f ( x , y )ds, 即被积函数Lf ( ? i , ? i ) ? ? si . ? ?L f ( x , y )ds ? lim ? ?0 i ?1积分弧段n积分和式曲线形构件的质量 M ? ? ? ( x , y )ds.L2.存在条件:当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上连续时, 对弧长的曲线积分 ?L f ( x , y )ds 存在.3.推广函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 ?上对弧长的 曲线积分为??f ( x , y , z )ds ? lim ? f (? i ,?i ,? i ) ? ?si .? ?0i ?1n注意:1. 若 L (或 ? )是分段光滑的, ( L ? L1 ? L2 )?L1 ? L2f ( x , y )ds ? ? f ( x , y )ds ? ? f ( x , y )ds.L1 L22. 函数f ( x , y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为?L f ( x , y )ds .4.性质(1) ? [?f ( x , y ) ? ?g( x , y )]ds ?L? ? f ( x , y )ds ? ? ? g( x , y )ds.L L( 2) ? f ( x , y )ds ? ? f ( x , y )ds ? ? f ( x , y )ds.L L1 L2( L ? L1 ? L2 ).( 3) 设在L上f ( x , y ) ? g ( x , y ), 则?L f ( x , y )ds ?g( x , y )ds三、对弧长曲线积分的计算定理设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续 , ? x ? ? ( t ), L的参数方程为? (? ? t ? ? )其中 ? y ? ? ( t ), ? ( t ),? ( t )在[? , ? ]上具有一阶连续导数 , 且?Lf ( x , y )ds ? ? f [? ( t ),? ( t )] ? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t )dt??(? ? ? )注意: 1. 定积分的下限 ? 一定要小于上限 ? ;2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立, 而是相互有关的.特殊情形(1) L : y ? ? ( x )a ? x ? b.b a?Lf ( x , y )ds ? ? f [ x ,? ( x )] 1 ? ? ? 2 ( x )dx . (a ? b )( 2) L : x ? ? ( y )c ? y ? d.d?L

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