西安交大高数10-5

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第五节 对坐标的曲面积分? ? ? ? ? ? 一、基本概念 二、概念的引入 三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系 六、小结 思考题一、基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类: 1.双侧曲面;典 型 双 侧 曲 面2.单侧曲面.? n典型单侧曲面: 莫比乌斯带播放曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 在有向曲面Σ 上取一小块曲面 ?S , ?S在xoy面上的投影 ( ?S ) xy 为( ?S ) xy ?( ?? ) xy 当 cos ? ? 0 时 ? ? ? ? ( ?? ) xy 当 cos ? ? 0 时. ? 当 cos ? ? 0 时 ? 0其中( ?? ) xy 表示投影区域的面积.二、概念的引入实例: 流向曲面一侧的流量. ? (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A, 求单位 时间流过 A 的流体的质量? (假定密度为 1).? v流量?A?0 n? ? ? A v cos? ? ?0 ? ? ? Av ? n ? v ? A(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由? ? ? ? v ( x , y , z ) ? P ( x , y , z )i ? Q ( x , y , z ) j ? R( x , y , z )kP ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )z给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数 都在Σ 上连续, 求在单位 时间内流向Σ 指定侧的流 体的质量? .x?oy1. 分割 把曲面Σ 分成n 小块?si (?si 同时也代表 ? 第i 小块曲面的面积), vi ? 在 ?si 上任取一点 z ?S i ni (? i ,? i , ? i ) (? i ,? i ,? i ) ,? 则该点流速为 v i . ? 法向量为 ni .??o xy? v i ? v (? i ,? i ,? i )? ? ? ? P (? i ,? i ,? i )i ? Q(? i ,? i ,? i ) j ? R(? i ,? i ,? i )k ,该点处曲面 Σ 的单位法向量 ? ? ? ?0ni ? cos ? i i ? cos ? i j ? cos ? i k ,通过?si 流向指定侧的流量的近似值为vi ? ni ?Sin( i ? 1, 2, ?, n).2. 求和 通过Σ 流向指定侧的流量? ? ? vi ? ni ?Sii ?1? ?[ P (? i ,? i , ? i ) cos ? i ? Q (? i ,? i , ? i ) cos ? ii ?1n? R(? i ,? i , ? i ) cos ? i ]?Si? ? [ P (? i ,? i ,? i )( ?Si ) yz ? Q(? i ,? i ,? i )( ?Si ) xzi ?1 n? R(? i ,? i ,? i )( ?Si ) xy ]3.取极限n? ? 0 取极限得到流量?的精确值.i ?1? ? lim ? [ P (? i ,? i ,? i )( ?Si ) yz ? Q(? i ,?i ,? i )( ?Si ) xz? ?0? R(? i ,?i ,? i )( ?Si ) xy ]三、概念及性质定义 设Σ为光滑的有向曲面 , 函数在Σ上有 界, 把Σ分成 n块小曲面 ?Si ( ?Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), ?Si 在 xoy 面上的投影为 ( ?Si ) xy , (? i ,? i ,? i ) 是 ?Si 上任意取定的一点, 如 果当各小块曲面的

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