南沙区二中2018-2019学年高二上学期二次月考试数学

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南沙区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 若函数y=f(x)是y=3x的反函数,则f(3)的值是( )

A.0 B.1 C. D.3

2. 设M={x|﹣2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是( )

A. B.

C. D.

 

3. 若函数上是单调函数,则的取值范围是( )

A. B. C. D.

4. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,且f(x)=f(x+2),g(x)=,则方程g(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣3,7]上的所有零点之和为( )

A.12 B.11 C.10 D.9

 

5. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOF的面积为( )

A. B. C. D.2

6. 如果a>b,那么下列不等式中正确的是( )

A. B.|a|>|b| C.a2>b2 D.a3>b3

7. 已知函数,则( )

A. B. C.1 D.

【命题意图】本题考查分段函数的求值,意在考查分类讨论思想与计算能力.

8. 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=( )

A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6}

9. 复数的值是( )

A. B. C. D.

【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则,突出复数知识中的基本运算,属于容易题.

10.对某班学生一次英语测验的成绩分析,各分数段的分布如图(分数取整数),由此,估计这次测验的优秀率(不小于80分)为( )

A.92% B.24% C.56% D.5.6%

11.在中,角所对应的边分别为,若角依次成等差数列,且,则等于(?? )

A. B. C. D.2

12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. B. C. D.

二、填空题

13.已知α为钝角,sin(+α)=,则sin(﹣α)=      .

 

14.抛物线的焦点为,经过其准线与轴的交点的直线与抛物线切于点,则

外接圆的标准方程为_________.

15.向量=(1,2,﹣2),=(﹣3,x,y),且,则x﹣y=      .

16.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其左焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=θ,且θ∈[],则该椭圆离心率e的取值范围为      .

 

17.给出下列命题:

(1)命题p:;菱形的对角线互相垂直平分,命题q:菱形的对角线相等;则p∨q是假命题

(2)命题“若x2﹣4x+3=0,则x=3”的逆否命题为真命题

(3)“1<x<3”是“x2﹣4x+3<0”的必要不充分条件

(4)若命题p:?x∈R,x2+4x+5≠0,则?p:

其中叙述正确的是      .(填上所有正确命题的序号)

18.设函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.若方程f(x)=ax有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是      .

 

 

三、解答题

19.(本小题满分12分)

已知平面向量.

(1)若,求

(2)若与夹角为锐角,求的取值范围.

20.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan﹣n(n﹣1).

(1)求证:数列{an}为等差数列,并分别求出an的表达式;

(2)设数列的前n项和为Pn,求证:Pn<

(3)设Cn=,Tn=C1+C2+…+Cn,试比较Tn与的大小.

 

21.生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:

测试指标

[70,76)

[76,82)

[82,88)

[88,94)

[94,100]

元件A

8

12

40

32

8

元件B

7

18

40

29

6

(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;

(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,

(ⅰ)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;

(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.

22.已知椭圆的左焦点为F,离心率为,过点M(0,1)且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为

(I)求椭圆G的方程;

(II)设动点P在椭圆G上(P不是顶点),若直线FP的斜率大于,求直线OP(O是坐标原点)的斜率的取值范围.

 

23.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以

分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中的值;

(2)求月平均用电量的众数和中位数.

1111]

24.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于E点,F,G分别为AD,BC的中点,AB=2,∠DAB=60°,沿对角线BD将△ABD折起,使得AC=

(1)求证:平面ABD⊥平面BCD;

(2)求二面角F﹣DG﹣C的余弦值.

南沙区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)

一、选择题

1. 【答案】B

【解析】解:∵指数函数的反函数是对数函数,

∴函数y=3x的反函数为y=f(x)=log3x,

所以f(9)=log33=1.

故选:B.

【点评】本题给出f(x)是函数y=3x(x∈R)的反函数,求f(3)的值,着重考查了反函数的定义及其性质,属于基础题.

 

2. 【答案】B

【解析】解:A项定义域为[﹣2,0],D项值域不是[0,2],C项对任一x都有两个y与之对应,都不符.

故选B.

【点评】本题考查的是函数三要素,即定义域、值域、对应关系的问题.

 

3. 【答案】A

【解析】

试题分析:根据可知,函数图象为开口向上的抛物线,对称轴为,所以若函数在区间上为单调函数,则应满足:,所以。故选A。

考点:二次函数的图象及性质(单调性)。

4. 【答案】B

【解析】解:∵f(x)=f(x+2),∴函数f(x)为周期为2的周期函数,

函数g(x)=,其图象关于点(2,3)对称,如图,函数f(x)的图象也关于点(2,3)对称,

函数f(x)与g(x)在[﹣3,7]上的交点也关于(2,3)对称,

设A,B,C,D的横坐标分别为a,b,c,d,

则a+d=4,b+c=4,由图象知另一交点横坐标为3,

故两图象在[﹣3,7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11,

即函数y=f(x)﹣g(x)在[﹣3,7]上的所有零点之和为11.

故选:B.

【点评】本题考查函数的周期性,函数的零点的概念,以及数形结合的思想方法.属于中档题.

 

5. 【答案】B

【解析】解:抛物线y2=4x的准线l:x=﹣1.

∵|AF|=3,

∴点A到准线l:x=﹣1的距离为3

∴1+xA=3

∴xA=2,

∴yA=±2

∴△AOF的面积为=

故选:B.

【点评】本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定A的坐标是解题的关键.

 

6. 【答案】D

【解析】解:若a>0>b,则,故A错误;

若a>0>b且a,b互为相反数,则|a|=|b|,故B错误;

若a>0>b且a,b互为相反数,则a2>b2,故C错误;

函数y=x3在R上为增函数,若a>b,则a3>b3,故D正确;

故选:D

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数的单调性,难度不大,属于基础题.

 

7. 【答案】B

【解析】,故选B.

8. 【答案】B

【解析】解:由题义知,全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},

所以CUA={2,4,6,7,9},CUB={0,1,3,7,9},

所以(CUA)∩(CUB)={7,9}

故选B

 

9. 【答案】

【解析】

10.【答案】C

【解析】解:这次测验的优秀率(不小于80分)为

0.032×10+0.024×10=0.56

故这次测验的优秀率(不小于80分)为56%

故选C

【点评】在解决频率分布直方图时,一定注意频率分布直方图的纵坐标是

 

11.【答案】C

【解析】

因为角依次成等差数列,所以

由余弦定理知,即,解得

所以, 故选C

答案:C

??

12.【答案】 B

【解析】解:三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体,

它们的底面直径均为2,故底面半径为1,

圆柱的高为1,半圆锥的高为2,

故圆柱的体积为:π×12×1=π,

半圆锥的体积为:×=

故该几何体的体积V=π+=

故选:B

 

二、填空题

13.【答案】 ﹣ .

【解析】解:∵sin(+α)=

∴cos(﹣α)=cos[﹣(+α)]

=sin(+α)=

∵α为钝角,即<α<π,

∴sin(﹣α)<0,

∴sin(﹣α)=﹣

=﹣

=﹣

故答案为:﹣

【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值,注意不同角之间的关系,正确选择公式,运用平方关系时,必须注意角的范围,以确定函数值的符号.

 

14.【答案】

【解析】

试题分析:由题意知,设,由,则切线方程为,代入,则,可得,则外接圆以为直径,则.故本题答案填.1

考点:1.圆的标准方程;2.抛物线的标准方程与几何性质.

15.【答案】 ﹣12 .

【解析】解:∵向量=(1,2,﹣2),=(﹣3,x,y),且

==

解得x=﹣6,y=6,

x﹣y=﹣6﹣6=﹣12.

故答案为:﹣12.

【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题,是基础题目.

 

16.【答案】 [﹣1] .

【解析】解:设点A(acosα,bsinα),则B(﹣acosα,﹣bsinα)(0≤α≤);

F(﹣c,0);

∵AF⊥BF,

=0,

即(﹣c﹣acosα,﹣bsinα)(﹣c+acosα,bsinα)=0,

故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0,

cos2α==2﹣

故cosα=

而|AF|=

|AB|==2c,

而sinθ=

==

∵θ∈[],

∴sinθ∈[],

+

解得,≤e≤﹣1;

故答案为:[﹣1].

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用,同时考查了三角函数的应用.

 

17.【答案】 (4) 

【解析】解:(1)命题p:菱形的对角线互相垂直平分,为真命题.命题q:菱形的对角线相等为假命题;则p∨q是真命题,故(1)错误,

(2)命题“若x2﹣4x+3=0,则x=3或x=1”,即原命题为假命题,则命题的逆否命题为假命题,故(2)错误,

(3)由x2﹣4x+3<0得1<x<3,则“1<x<3”是“x2﹣4x+3<0”的充要条件,故(3)错误,

(4)若命题p:?x∈R,x2+4x+5≠0,则¬p:.正确,

故答案为:(4)

【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及复合命题的真假关系,四种命题,充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定,知识点较多,属于中档题.

 

18.【答案】 (﹣1,﹣]∪[) .

【解析】解:当﹣2≤x<﹣1时,[x]=﹣2,此时f(x)=x﹣[x]=x+2.

当﹣1≤x<0时,[x]=﹣1,此时f(x)=x﹣[x]=x+1.

当0≤x<1时,﹣1≤x﹣1<0,此时f(x)=f(x﹣1)=x﹣1+1=x.

当1≤x<2时,0≤x﹣1<1,此时f(x)=f(x﹣1)=x﹣1.

当2≤x<3时,1≤x﹣1<2,此时f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣1=x﹣2.

当3≤x<4时,2≤x﹣1<3,此时f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣2=x﹣3.

设g(x)=ax,则g(x)过定点(0,0),

坐标系中作出函数y=f(x)和g(x)的图象如图:

当g(x)经过点A(﹣2,1),D(4,1)时有3个不同的交点,当经过点B(﹣1,1),C(3,1)时,有2个不同的交点,

则OA的斜率k=,OB的斜率k=﹣1,OC的斜率k=,OD的斜率k=

故满足条件的斜率k的取值范围是

故答案为:(﹣1,﹣]∪[

【点评】本题主要考查函数交点个数的问题,利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据,利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想.

 

三、解答题

19.【答案】(1)2或;(2)

【解析】

试题分析:(1)本题可由两向量平行求得参数,由坐标运算可得两向量的模,由于有两解,因此模有两个值;(2)两向量的夹角为锐角的充要条件是不共线,由此可得范围.

试题解析:(1)由,得

时,

时,.

(2)与夹角为锐角,

又因为时,

所以的取值范围是.

考点:向量平行的坐标运算,向量的模与数量积.

【名师点睛】由向量的数量积可得向量的夹角公式,当为锐角时,,但当时,可能为锐角,也可能为0(此时两向量同向),因此两向量夹角为锐角的充要条件是不同向,同样两向量夹角为钝角的充要条件是不反向.

20.【答案】

【解析】解:(1)证明:∵Sn=nan﹣n(n﹣1)

∴Sn+1=(n+1)an+1﹣(n+1)n…

∴an+1=Sn+1﹣Sn=(n+1)an+1﹣nan﹣2n…

∴nan+1﹣nan﹣2n=0

∴an+1﹣an=2,

∴{an}是以首项为a1=1,公差为2的等差数列 …

由等差数列的通项公式可知:an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,

数列{an}通项公式an=2n﹣1;…

(2)证明:由(1)可得

=

(3)∴

=

两式相减得

=

=

=

=

∵n∈N*,

∴2n>1,

 

21.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)元件A为正品的概率约为

元件B为正品的概率约为

(Ⅱ)(ⅰ)∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况:两件正品,A次B正,A正B次,A次B次.

∴随机变量X的所有取值为90,45,30,﹣15.

∵P(X=90)==;P(X=45)==;P(X=30)==

P(X=﹣15)==

∴随机变量X的分布列为:

EX=

(ⅱ)设生产的5件元件B中正品有n件,则次品有5﹣n件.

依题意得 50n﹣10(5﹣n)≥140,解得

所以 n=4或n=5.

设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A,

则P(A)==

 

22.【答案】

【解析】解:(I)∵椭圆的左焦点为F,离心率为

过点M(0,1)且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为

∴点在椭圆G上,又离心率为

,解得

∴椭圆G的方程为

(II)由(I)可知,椭圆G的方程为.∴点F的坐标为(﹣1,0).

设点P的坐标为(x0,y0)(x0≠﹣1,x0≠0),直线FP的斜率为k,

则直线FP的方程为y=k(x+1),

由方程组消去y0,并整理得

又由已知,得,解得或﹣1<x0<0.

设直线OP的斜率为m,则直线OP的方程为y=mx.

由方程组消去y0,并整理得

由﹣1<x0<0,得m2>

∵x0<0,y0>0,∴m<0,∴m∈(﹣∞,﹣),

由﹣<x0<﹣1,得

∵x0<0,y0>0,得m<0,∴﹣<m<﹣

∴直线OP(O是坐标原点)的斜率的取值范围是(﹣∞,﹣)∪(﹣,﹣).

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线的斜率的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆与直线的位置关系的合理运用.

 

23.【答案】(1);(2)众数是,中位数为

【解析】

试题分析:(1)利用频率之和为一可求得的值;(2)众数为最高小矩形底边中点的横坐标;中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数.1

试题解析:(1)由直方图的性质可得

考点:频率分布直方图;中位数;众数.

24.【答案】

【解析】(1)证明;在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,∴△ABD,△CBD为等边三角形,

∵E是BD的中点,∴AE⊥BD,AE=CE=

∵AC=,∴AE2+CE2=AC2,

∴AE⊥EC,∴AE⊥平面BCD,

又∵AE?平面ABD,∴平面ABD⊥平面BCD;

(2)解:由(1)可知建立以E为原点,EC为x轴,ED为y轴,EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz,

则D(0,1,0),C(,0,0),F(0,)G(﹣,1,),

平面CDG的一个法向量=(0,0,1),

设平面FDG的法向量=(x,y,z),=(0,﹣),=(﹣,1,

,即,令z=1,得x=3,y=

故平面FDG的一个法向量=(3,,1),

∴cos==

∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣

【点评】本题考查平面垂直,考查平面与平面所成的角,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

 

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