西安交大高数8-习题课

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一、主要内容平面点集 和区域极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念多元函数 的极限多元函数 连续的概念方向导数复合函数 求导法则全微分形式 的不变性全微分 概念全微分 的应用 高阶偏导数偏导数 概念隐函数 求导法则微分法在 几何上的应用多元函数的极值1、区域(1)邻域设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点, ? 是某 一正数,与点P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 ? 的点P ( x , y ) ? 邻域,记为U ( P0 , ? ) , 的全体,称为点P0 的U ( P0 ,? ) ? ?P | PP0 |? ? ?? ( x , y ) | ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ? .??? ? P0(2)区域 连通的开集称为区域或开区域.(3)聚点设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的 一个点,如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点.(4)n维空间n 元数组 设n 为取定的一个自然数,我们称 n 维空间,而每个 n 元数 ( x1 , x 2 ,? , x n ) 的全体为 n 维空间中的一个点,数 组 ( x 1 , x 2 , ? , x n ) 称为 x i 称为该点的第 i 个坐标.2、多元函数概念定义 设D 是平面上的一个点集,如果对于每 个点 P ( x . y ) ? D ,变量z 按照一定的法则总有确 定的值和它对应,则称z 是变量 x , y 的二元函数, 记为 z ? f ( x , y ) (或记为 z ? f ( P ) ).类似地可定义三元及三元以上函数.n 元函数统称为多元函数. 当 n ? 2 时,3、多元函数的极限定义 设函数 z ? f ( x , y ) 的定义域为 D , P0 ( x0 , y0 ) ? ,总存在 是其聚点,如果对于任意给定的正数 正 数 ? , 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 ?| PP0 |? ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? ? 的 一 切 点,都有 | f ( x , y ) ? A |? ? 成立,则称A 为函数 z ? f ( x , y ) 当 x ? x 0 , y ? y 0 时的极限, 记为 lim f ( x , y ) ? A (或 f ( x , y ) ? A ( ? ? 0) 这里? ?| PP0 | ).x ? x0 y ? y0说明:(1)定义中 P ? P0 的方式是任意的; (2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );x ? x0 y ? y0(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.4、极限的运算设 P ? P0 时, f ( P ) ? A, f ( P ) ? B , 则 (1). f ( P ) ? g( P ) ? A ? B; ( 2). f ( P ) ? g( P ) ? A ? B; ( 3). f ( P ) g( P ) ? A B ( B ? 0).5、多元函数的连续性定义 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集 D , P0 是n 其聚点且 P0 ? D ,如果 lim f ( P ) ? f ( P0 ) 则称P ? P0元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点,如果 P0 是函数f ( P ) 的 f ( P ) 在点P0 处不连续,则称 间断点.6、多元连续函数的性质(1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上

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